حل فعالیت صفحه 124 ریاضی هشتم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 124 - تمرین 1 ما در این تمرین می‌خواهیم **میانگین** (Average) نمرات یک دانش‌آموز را پیدا کنیم. میانگین در واقع عددی است که اگر همه نمرات او یکسان بود، آن عدد می‌شد! **فرمول میانگین:** $$\overline{x} = \frac{مجموع \ داده \ ها (S)}{تعداد \ داده \ ها (n)}$$ ### گام اول: محاسبه مجموع نمره‌ها ($S$) ابتدا باید نمرات داده شده را با هم جمع کنیم: نمرات: $18, 17, 15, 18, 17, 19$ $$S = 18 + 17 + 15 + 18 + 17 + 19$$ $$S = 104$$ ### گام دوم: تعیین تعداد نمره‌ها ($n$) تعداد کل نمرات $6$ است. $$n = 6$$ ### گام سوم: محاسبه میانگین ($\overline{x}$) حالا مجموع نمرات را بر تعداد آن‌ها تقسیم می‌کنیم: $$\overline{x} = \frac{104}{6}$$ $$\overline{x} \approx 17.33$$ **میانگین نمره‌های این دانش‌آموز تقریباً $17.33$ است.** **نکته کلیدی:** میانگین همیشه یک عدد بین کوچک‌ترین نمره ($15$) و بزرگ‌ترین نمره ($19$) خواهد بود.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 124 - تمرین 2 این تمرین به ما کمک می‌کند تا یک خاصیت جالب **میانگین** را کشف کنیم: میانگین نقطه‌ای است که داده‌ها به طور **متوازن** حول آن توزیع می‌شوند. **نمرات داده شده:** $16, 15.5, 16, 15, 17, 19, 18.5, 14, 16.5, 17.5$ ### گام اول: محاسبه میانگین ($\overline{x}$) 1. **مجموع نمرات ($S$):** $$S = 16 + 15.5 + 16 + 15 + 17 + 19 + 18.5 + 14 + 16.5 + 17.5 = 165$$ 2. **تعداد نمرات ($n$):** $10$ 3. **میانگین ($\overline{x}$):** $$\overline{x} = \frac{165}{10} = 16.5$$ **میانگین نمره‌ها $16.5$ است.** --- ### گام دوم: مقایسه نمرات با میانگین (تعداد نمرات) | نمره | مقایسه با $16.5$ | تعداد | | :---: | :---: | :---: | | $16$ | پایین‌تر | | | $15.5$ | پایین‌تر | | | $16$ | پایین‌تر | | | $15$ | پایین‌تر | | | $17$ | بالاتر | | | $19$ | بالاتر | | | $18.5$ | بالاتر | | | $14$ | پایین‌تر | | | $16.5$ | مساوی | | | $17.5$ | بالاتر | | * **نمرات بالاتر از $16.5$:** $17, 19, 18.5, 17.5$ $\rightarrow$ **۴ نمره** * **نمرات پایین‌تر از $16.5$:** $16, 15.5, 16, 15, 14$ $\rightarrow$ **۵ نمره** **آیا این دو تعداد مساوی است؟** خیر. تعداد نمرات پایین‌تر (۵) با تعداد نمرات بالاتر (۴) مساوی نیست. این نشان می‌دهد که در محاسبه میانگین، **تعداد داده‌ها** مهم نیست، بلکه **مقدار اختلاف** آن‌ها مهم است. --- ### گام سوم: مقایسه مجموع اختلاف‌ها **الف) مجموع اختلاف نمرات بالاتر از میانگین:** نمرات بالاتر: $17, 19, 18.5, 17.5$ $$S_{\text{بالاتر}} = (17 - 16.5) + (19 - 16.5) + (18.5 - 16.5) + (17.5 - 16.5)$$ $$S_{\text{بالاتر}} = 0.5 + 2.5 + 2.0 + 1.0 = 6.0$$ **ب) مجموع اختلاف نمرات پایین‌تر از میانگین:** نمرات پایین‌تر: $16, 15.5, 16, 15, 14$ $$S_{\text{پایین‌تر}} = (16.5 - 16) + (16.5 - 15.5) + (16.5 - 16) + (16.5 - 15) + (16.5 - 14)$$ $$S_{\text{پایین‌تر}} = 0.5 + 1.0 + 0.5 + 1.5 + 2.5 = 6.0$$ **مقایسه نتایج:** **$S_{\text{بالاتر}} = 6.0$** و **$S_{\text{پایین‌تر}} = 6.0$** **نتیجه کلیدی:** مجموع اختلاف نمرات بالاتر از میانگین با مجموع اختلاف نمرات پایین‌تر از میانگین، **برابر** است. این **خاصیت مهم میانگین** است: میانگین نقطه‌ی تعادل داده‌هاست. جمع اختلاف داده‌ها از میانگین (با در نظر گرفتن علامت) همیشه صفر است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 124 - تمرین 3 این تمرین درباره **میانگین موزون** یا ترکیب میانگین‌های مختلف است. برای محاسبه میانگین جدید، ما نیاز به **مجموع کل نمرات** و **تعداد کل نمرات** داریم. ### قسمت اول: محاسبه میانگین جدید 1. **محاسبه مجموع نمرات اولیه (۷ درس):** ما می‌دانیم که $\overline{x} = \frac{S}{n}$. پس $S = \overline{x} \times n$. $$مجموع \ نمرات \ اولیه = 16.5 \times 7 = 115.5$$ 2. **نمرات جدید:** دو نمره $17$ و $15$ اضافه شده است. 3. **محاسبه مجموع نمرات جدید:** $$مجموع \ نمرات \ جدید = مجموع \ نمرات \ اولیه + نمره \ جدید \ 1 + نمره \ جدید \ 2$$ $$S_{\text{جدید}} = 115.5 + 17 + 15 = 147.5$$ 4. **تعداد نمرات جدید:** $$n_{\text{جدید}} = 7 \text{ (نمرات اولیه)} + 2 \text{ (نمرات جدید)} = 9$$ 5. **محاسبه میانگین جدید ($\overline{x}_{\text{جدید}}$):** $$\overline{x}_{\text{جدید}} = \frac{147.5}{9} \approx 16.388$$ **میانگین جدید نمرات این دانش‌آموز تقریباً $16.39$ است.** --- ### قسمت دوم: بررسی روش میانگین‌گیری از میانگین‌ها **سؤال:** آیا می‌توان میانگین دو نمره $15$ و $17$ (که $16$ می‌شود) را پیدا کرد و سپس میانگین $16$ و $16.5$ را حساب کرد؟ **پاسخ:** **خیر، نمی‌توان این کار را انجام داد.** **چرا؟** * **تعداد داده‌ها متفاوت است (وزن‌ها فرق دارد):** میانگین $16.5$ مربوط به **۷** نمره است، در حالی که میانگین $16$ فقط مربوط به **۲** نمره است. نمرات اولیه (۷ نمره) **وزن** بیشتری در میانگین کل دارند. * **میانگین بدون وزن:** اگر شما فقط میانگین $16$ و $16.5$ را بگیرید (که می‌شود $16.25$), در واقع فرض کرده‌اید که هر دو دسته (دسته $16.5$ و دسته $16$) تعداد نمرات مساوی دارند (مثلاً هر کدام یک نمره). در حالی که تعداد نمرات اولیه $7$ و تعداد نمرات جدید $2$ است. **نکته آموزشی:** برای ترکیب چند میانگین، حتماً باید **تعداد داده‌ها (وزن)** هر میانگین را در نظر بگیرید و از مجموع نمرات واقعی استفاده کنید (همانطور که در قسمت اول حل کردیم).

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 124 - تمرین 4 این تمرین مجدداً خاصیت تعادل **میانگین** و مفهوم **انحراف از میانگین** را بررسی می‌کند. **نمرات داده شده:** $11, 12, 12, 13, 13, 13, 14, 14, 15$ ### گام اول: محاسبه میانگین ($\overline{x}$) 1. **مجموع نمرات ($S$):** $$S = 11 + 12 + 12 + 13 + 13 + 13 + 14 + 14 + 15 = 117$$ 2. **تعداد نمرات ($n$):** $9$ 3. **میانگین ($\overline{x}$):** $$\overline{x} = \frac{117}{9} = 13$$ **میانگین نمره‌ها $13$ است.** --- ### گام دوم: رابطه بین این عددها این نمره‌ها به صورت **متقارن** حول میانگین **$13$** توزیع شده‌اند: * یک نمره $(11)$ از $13$ به اندازه **$2$ واحد کمتر** است. * یک نمره $(15)$ از $13$ به اندازه **$2$ واحد بیشتر** است. * دو نمره $(12, 12)$ از $13$ به اندازه **$1$ واحد کمتر** است. * دو نمره $(14, 14)$ از $13$ به اندازه **$1$ واحد بیشتر** است. * سه نمره $(13, 13, 13)$ **مساوی** با $13$ است. **رابطه:** این داده‌ها توزیع **متقارن** دارند و میانگین، میانه و مد آن‌ها همگی **$13$** است. --- ### گام سوم: فاصله هر عدد تا میانگین (انحراف از میانگین) **فاصله** هر عدد تا میانگین (قدرمطلق اختلاف) به صورت زیر است: | نمره ($x$) | فاصله تا میانگین ($|x - 13|$) | | :---: | :---: | | $11$ | $|11 - 13| = 2$ | | $12$ | $|12 - 13| = 1$ | | $12$ | $|12 - 13| = 1$ | | $13$ | $|13 - 13| = 0$ | | $13$ | $|13 - 13| = 0$ | | $13$ | $|13 - 13| = 0$ | | $14$ | $|14 - 13| = 1$ | | $14$ | $|14 - 13| = 1$ | | $15$ | $|15 - 13| = 2$ | **جمع اختلاف‌ها (با علامت):** $(-2) + (-1) + (-1) + 0 + 0 + 0 + (+1) + (+1) + (+2) = 0$ همانطور که در تمرین قبل دیدیم، چون مجموع انحراف‌های مثبت ($1+1+2=4$) با مجموع انحراف‌های منفی ($|-2| + |-1| + |-1| = 4$) برابر است، میانگین در نقطه‌ی تعادل قرار گرفته است.